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【课堂实录】《发现角的互补、互余关系》
时 间:13-09-30 09:00:49  来 源:
 

《发现角的互补、互余关系》教学设计与课堂实录及点评

万博体育登录  陈建民

一、教学设计  

教学目标  

1   从两个方面发现角的互补与互余关系

2         建立角的互补、互余关系与x+y=180 s+t=90这两个数量关系的联系

3         体会代数方法在几何问题中的运用

4  推导性质体会数学推理思想和推理方法

重点  发现角的互补、互余关系

难点  互补、互余的相关性质的推导

教学过程

 

二、课堂实录

【场景介绍】上课铃尚未响,学生陆续走进教室。荧幕画面:缓慢旋转移动的∠1、∠2、∠3、∠4四个角和18090、平角、直角等字样,其中∠1与∠2、∠3与∠4分别可拼成平角和直角,并且不时相遇而拼成平角与直角。背景音乐:苏格兰民歌《友谊万岁》。铃响,音乐声渐小,教师走上讲台。

师:同学们,听着这音乐,看到这幅画面,有什么想法吗?

生:很美,图形和文字也有友谊……(笑声)

生:180,个头不小。                            

生:180°的角是平角,90°的角是直角,它们是有联系的。

生:数字和图形有关系。

生:那四个小角呢?

师:是啊,这四个小角和它们是什么关系呢?今天,我们就专门来说说它们,看下面的画面。

【场景介绍】 多媒体画面:一个平角、一个直角分别被从顶点出发的两条射线分成两个角∠1、∠2和∠3、∠4;射线绕端点旋转(分别在平角和直角内) 

师:你会发现什么?

生:射线OM将平角∠AOB分成∠1、∠2两个角,射线DN将直角∠CDN分成∠3、∠4两个角。

生:OMDN在摆动。

生:∠1与∠2的大小在变化,(众多声音)∠3与∠4的也在变化。

生:但无论它们怎么变,∠1与∠2的和永远是平角,∠3与∠4的和永远是直角。

师:好啊,发现本质的东西了。用数学符号语言描述一下,

生:射线OM将平角∠AOB分成∠1、∠2两个角,射线DN将直角∠CDN分成∠3、∠4两个角。并且∠1+2=180°,∠3+4=90°。

师:太好啦,大家同意吗?

生:同意。

师:不要停,让我们继续探索,再看(播放多媒体)

【场景介绍】 多媒体画面:射线OM将平角∠AOB分成∠1、∠2两个角,射线DN将直角∠CDN分成∠3、∠4两个角。∠1、∠2、∠3、∠4离开原位置(路径由简到繁)缓慢旋转平移,最后停止在欲合不合的位置。

师:这回有经验了,谁来说说你又发现了什么?

生:无论∠1、∠2的位置如何变化,∠1+2=180°,无论∠3、∠4的位置如何变化,∠3+4=90°.

师:这样的∠1与∠2,∠3与∠4是不是有特殊的(关系)友谊呢?

生:是。

师:是有特殊数量关系的两个角,那我们就要给它们以特殊的关照了,好,给它们起个名字,叫什么呢?你们不要说了,留给我表现一下吧,我说了算,∠1与∠2叫互为补角,∠3与∠4叫互为余角,(多媒体打出课题)你能用数学符号语言描述一下吗?请各小组讨论,记录人将本组讨论结果写在纸上,交给我。

【场景介绍】教师巡视,与学生个别交谈。收缴记录。

师:大致浏览了同学们的作品,归纳一下,可分为三种情况,我取大家的长处,把每一种都准确化

【场景介绍】 多媒体画面:显示互补互余定义的三种说法。

★如果两个角的和是180°,那么称这两个角互为补角;如果两个角的和是90°,那么称这两个角互为余角。

★如果两个角的和是平角,那么称这两个角互为补角;如果两个角的和是直角,那么称这两个角互为余角

     如果∠1+2=180°,那么∠1与∠2互为补角;如果∠3+4=90°,那么∠3与∠4互为余角.

 

师:现在思考以下问题

【场景介绍】 多媒体展现思考题

     定义中的“互为”一词如何理解?

生:“互为”就是两个角互为补角。

生:“互为”就是说,如果∠1与∠2互补,那么∠1的补角是∠2,而∠2的补角是∠1.

★互补、互余的两角是否一定有公共顶点或公共边?

生:互补或互余的两角不一定有公共顶点或公共边

【场景介绍】 多媒体课件展现“抢答题”,学生跃跃欲试。

抢答题

     12互补,则1+2=  180°

     1=180-2,12   互补

30°的余角是   60°      ,补角是  150°   ,一个角的度数是 x,则它的余角的度数和补角的度数分别是  90x180x

     30°角的余角的补角是  120°;(横线上的答案系学生说出后,多媒体显示)

笔答题    一个角是它的补角的3倍,求这个角

【场景介绍】 学生笔答,教师巡视,和学生交谈,发现问题,有些学生好象没有办法。

师:不错,好多同学都知道列方程求这个角。(选出两份作业在“实物展示台”展示。)

【解法一】 设这个角是x度,则它的补角是x/3

依题意得:  x+x/3=180.

解得: x=135.          答:所求得角是135度。

【解法二】 设这个角是x度,则它的补角是(180-x ) .依题意得

          x=3(180-x),  解得  x=135

         答:这个角是135度。

【场景介绍】  学生迅速答题,与电脑对答案,并争取展示自己的作业,态度积极,情绪高昂。教师操作电脑,出示观察题,引导学生进一步思考、探索。

D

C

O

    如图,O是直线AB上的一点,OC是∠AOB的平分线。

【场景介绍】  电脑动画完成画图、答案、追问、补图等,教师旁白,

看图回答

E

    1.图中互余的角是   AOD与∠DOC                   

    2.图中互补的角是   AOD与∠DOB,∠AOC与∠COB  

    3.图中相等的角是   AOC与∠BOC                   

B

添加一条射线0E,使得∠DOE是一个直角,再回答下列问题:

【场景介绍】 学生分组,8——9人一组,一人主持,一人记录,主持人负责读题,其他人参与讨论,记录人负责向全班汇报本组讨论情况。答案情况如下面空格内内容(本文不一一记载)。

1.  图中∠DOC的余角有  AOD和∠COE 

它们是什么关系?          相等    。(也有回答“还有互余关系的”那是指∠DOC和∠AOD

2.图中∠AOD的余角有   DOC和∠BOE

它们是什么关系?          相等   

3.通过上述两小题,你能得到的结论                      

生:我感觉一个角如果有两个余角的话,那么,它们相等。

师:会有两个余角吗?

生:(犹豫地)会吧。

生:不但会,而且会很多,而且它们都相等(说的时候,两手不停的示意在不同的位置摆放同一个角)。

师:大家能根据这个图,把刚才推出的结论用数学符号语言写出推理的过程吗?各组讨论,把结果写在纸上交上来。

【场景介绍】多媒体重磅推出:

同角的余角相等     等角的余角也相等

教师巡视,与生交谈,做必要提示,学生讨论气氛热烈,有争论,焦点是书写中语言和符号语言的成份,有的用符号多一些,有的少一些,但各组基本能说出推理过程的三个步骤,选择一个准确的展示。

因为   AOD+DOC=90°

COE+DOC=90°

所以   AOD=COE

 

因为  AOD+DOC=90°

COE+BOE=90°

    AOD=COE

所以  DOC=BOE

师:今天,我们发现了具有特殊数量关系的一对角…对…是两对,互补的角、互余的角,

【场景介绍】 多媒体播放本课开始的画面,所不同的是推出如下字幕:

     两个角无论它们“身居何处”,只要它们的和为180°,它们就互为补角,它们的和为90°,它们就互为余角

师:我们还发现“同角的余角相等,等角的余角也相等”,马上要下课了,我们不觉得少点什么?

生:同角的补角是不是也相等呢?

师:对,这就是我们今天的作业,

【场景介绍】 多媒体展示作业及作业要求:

探讨同角或等角的补角是否相等

课后小组合作学习讨论,更换主持人和记录人,主持人和本组同学商量确定时间。

仿照“余角的性质”的方法

将探究学习的结果及推理过程讲给同组的同学,将记录于下节课前交给我。

祝同学们学习愉快。

点评

本课例通过多媒体画面的创意,让生硬、死板的数字和图形活了起来,仿佛是会说话的演员,使学生着眼于对图形与图形之间的数量关系的观察探究,渗透数形结合的数学思想方法。

课例体现了学生的学习是在原有知识上的自我生成过程。引导学生关注知识产生发展的过程,让学生在原有的知识经验上对知识自我建构。整个课堂充满了师生、生生互动的探究气氛,而在“互补”、“互余”概念的定义和叙述上,则保留了传统教学中的直叙讲授,并在学生已有证明“余角性质定理”方法的基础上布置了合作探究性作业:猜测并证明“补角性质定理”,很有特色。

 

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